Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia
Pochodną funkcji można obliczyć, korzystając z twierdzeń opisujących własności pochodnych funkcji - i - oraz . Poniżej przedstawimy te twierdzenia oraz przykłady obliczania pochodnej funkcji wykorzystujące te własności.
Twierdzenie 1: Wzory na pochodne podstawowych funkcji
Pochodne funkcji względem zmiennej \( x \) wyrażają się wzorami:
Pochodna funkcji stałej:
\( (c)^{\prime}=0 \), gdzie \( c\in\mathbb R \) jest stałą
Pochodna funkcji potęgowej:
\( (x^a)^{\prime}=ax^{a-1} \), gdzie \( a\in\mathbb R \) jest stałą
Pochodna funkcji wykładniczej i logarytmicznej:
\( (a^x)^{\prime}=a^x\ln a \), gdzie \( a\in(0,1)\cup (1,\infty) \) jest stałą
\( (e^x)^{\prime}=e^x \)
\( (\log_a x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a} \), gdzie \( a\in(0,1)\cup (1,\infty) \) jest stałą
\( (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x} \)
Pochodna funkcji trygonometrycznych:
\( (\sin x)^{\prime}=\cos x \)
\( (\cos x)^{\prime}=-\sin x \)
\( (\text{tg}\, x)^{\prime}=\frac{1}{\cos^2 x} \)
\( (\text{ctg}\, x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin^2 x} \)
Pochodna funkcji cyklometrycznych:
\( (\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( (\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( (\text{arctg}\, x)^{\prime}=\frac{1}{x^2+1} \)
\( (\text{arcctg}\, x)^{\prime}=-\frac{1}{x^2+1} \)
Przykład 1:
Obliczymy pochodną funkcji \( f(x)=\sin x \) z definicji.
\( \begin{aligned}f^{\prime}(x)=&\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h}=\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{\sin x (1-2\sin^2\frac{h}{2})+\cos x \sin h-\sin x}{h}=\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{-2\sin x\sin^2\frac{h}{2}+\cos x \sin h}{h}=\\ =&\lim_{h\to 0}\left(-2\sin x\frac{\sin^2\frac{h}{2}}{h}+\cos x \frac{\sin h}{h}\right)=\\ =&\lim_{h\to 0}\left(-\sin x\cdot \sin\frac{h}{2}\cdot \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}+\cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\right)=\\ =&-\sin x\cdot 0\cdot 1+\cos x\cdot 1=\cos x.\end{aligned} \)
Pochodną funkcji można obliczyć z definicji, jednak często jest to żmudne zadanie. Dlatego zazwyczaj obliczamy pochodną funkcji, wykorzystując i oraz powyższe .
Twierdzenie 2: o pochodnej operacji algebraicznych
Jeżeli funkcje \( f \) i \( g \) mają pochodne właściwe w punkcie \( x_0 \),
to
\( \begin{aligned}(k\cdot f)^{\prime}(x_0)=&k\cdot f^{\prime}(x_0),\text{ gdzie }k\text{ jest stałą},\\ (f+g)^{\prime}(x_0)=&f^{\prime}(x_0)+g^{\prime}(x_0),\\ (f-g)^{\prime}(x_0)=&f^{\prime}(x_0)-g^{\prime}(x_0),\\ (f\cdot g)^{\prime}(x_0)=&f^{\prime}(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime}(x_0),\\ \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(x_0)=&\frac{f^{\prime}(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime}(x_0)}{[g(x_0)]^2}.\end{aligned} \)
Uwaga 2:
Powyższe wzory są również prawdziwe dla pochodnych jednostronnych.
Przykład 2:
Obliczmy pochodną funkcji:
Ze wzorów na pochodną iloczynu stałej i funkcji:
Teraz pod znakiem pochodnej mamy jedynie funkcje potęgowe i funkcję stałą, których pochodne znamy, zatem:
\( f(x)=2x^2+4x^5-3. \)
Wykorzystując wzory na pochodną sumy i różnicy otrzymujemy:
\( f^{\prime}(x)=(2x^2)^{\prime}+(4x^5)^{\prime}-(3)^{\prime}= \)
\( =2(x^2)^{\prime}+4(x^5)^{\prime}-(3)^{\prime}= \)
\( =2\cdot 2x+4\cdot 5x^4-0=4x+20x^4. \)
Przykład 3:
Wykorzystując powyższe twierdzenie, obliczmy pochodne funkcji:
Pochodna funkcji \( h \) została policzona, ale uprośćmy jeszcze ten przepis:
\( g(x)=x^3\sin x, \qquad h(x)=\frac{\ln x}{\text{ctg}\, x}. \)
\( g^{\prime}(x)=(x^3\sin x)^{\prime}=(x^3)^{\prime}\sin x +x^3(\sin x)^{\prime}=3x^2\sin x +x^3\cos x \)
\( h^{\prime}(x)=\frac{\ln x}{\text{ctg}\, x}=\frac{(\ln x)^{\prime}\text{ctg}\, x-\ln x(\text{ctg}\, x)^{\prime}}{\text{ctg}^2\, x}=\frac{\frac{1}{x}\,\text{ctg}\, x-\ln x(-\frac{1}{\sin^2 x})}{\text{ctg}^2\, x}= \)
\( =\frac{\text{ctg}\, x\sin^2 x+x\ln x}{x\sin^2 x\,\text{ctg}^2\, x}=\frac{\sin x\cos x+x\ln x}{x\cos^2 x}. \)
Przy liczeniu pochodnej funkcji elementarnej będziemy często potrzebować jeszcze wzoru na pochodną złożenia funkcji.
Twierdzenie 3: o pochodnej funkcji złożonej
Jeżeli funkcja \( f \) ma pochodną właściwą w punkcie \( x_0 \) i funkcja \( g \) ma pochodną właściwą w punkcie \( f(x_0) \) ,
to
\( (g\circ f)^{\prime}(x_0)=g^{\prime}(y_0)|_{y_0=f(x_0)}\cdot f^{\prime}(x_0). \)
Uwaga 3:
Powyższy wzór jest prawdziwy dla funkcji będącej złożeniem dowolnej skończonej liczby funkcji, a także dla pochodnych jednostronnych.
Uwaga 4:
Wyrażenie \( g^{\prime}(y)|_{y=f(x)} \) w powyższym wzorze oznacza, że najpierw liczymy pochodną funkcji zewnętrznej \( g \), a dopiero następnie w miejsce zmiennej \( y \) wstawiamy funkcję wewnętrzną \( f(x) \).
Przykład 4:
Obliczmy pochodne funkcji:
Zauważmy, że \( \sin^4x=(\sin x)^4 \), czyli tym razem funkcja sinus jest funkcją wewnętrzną.
\( f_1(x)=\sin 4x,\qquad f_2(x)=\sin^4x. \)
Funkcja \( f_1 \) jest złożeniem dwóch funkcji. Funkcją wewnętrzną jest funkcja \( 4x \), natomiast funkcją zewnętrzną jest \( \sin y \).
\( f_1^{\prime}(x)=(\sin 4x)^{\prime}=(\sin y)^{\prime}|_{y=4x}\cdot (4x)^{\prime}=(\cos y)|_{y=4x}\cdot 4=\cos 4x\cdot 4=4\cos 4x. \)
\( f_2^{\prime}(x)=((\sin x)^4)^{\prime}=(y^4)^{\prime}|_{y=\sin x}\cdot (\sin x)^{\prime}=(4 y^3)|_{y=\sin x}\cdot \cos x=4\sin^3x\cdot\cos x. \)
Przykład 5:
Funkcja, której liczymy pochodną, może być złożeniem większej ilości funkcji, tak jak:
\( f_3(x)=\sin^53x. \)
Jest to złożenie trzech funkcji. Wtedy
\( \begin{aligned}f_3^{\prime}(x)=&(\sin^53x)^{\prime}=((\sin 3x)^5)^{\prime}=(y^5)^{\prime}|_{y=\sin 3x}\cdot(\sin 3x)^{\prime}=\\ =&5(\sin 3x)^4\cdot(\sin 3x)^{\prime}=5(\sin 3x)^4\cdot(\sin y)^{\prime}|_{y=3x}\cdot (3x)^{\prime}=\\ =&5(\sin 3x)^4\cdot\cos 3x\cdot 3=15\sin^4 3x\cos 3x.\end{aligned} \)
Uwaga 5:
Zauważmy, że licząc pochodną funkcji złożonej, wygodnie jest liczyć pochodną rozpoczynając od pochodnej funkcji najbardziej zewnętrznej. Podobnie jeżeli funkcja ma rozbudowany wzór, to wygodnie jest rozpocząć liczenie pochodnej od operacji najbardziej zewnętrznej, niezależnie czy jest to operacja złożenia funkcji, czy operacja będąca działaniem arytmetycznym na funkcjach. Jeżeli mamy problem z określeniem, która operacja jest najbardziej zewnętrzna, to przyjrzyjmy się kolejności wykonywanych operacji, gdy za \( x \) podstawimy dowolną liczbę z dziedziny. Operacja, którą wykonujemy jako ostatnią, będzie operacją najbardziej zewnętrzną.
Przykład 6:
Obliczmy pochodne funkcji:
w ich dziedzinach.
\( g_1(x)=\ln(3^{5x+4x^3}+ 4x^7),\qquad g_2(x)=\frac{\log^4\cos x}{5^xx^5} \)
Dla dowolnego \( x \) należącego do dziedziny funkcji \( g_1 \):
\( \begin{aligned}g_1^{\prime}(x)=&(\ln(3^{5x+4x^3}+ 4x^7))^{\prime}=\frac{1}{3^{5x+4x^3}+ 4x^7}\cdot (3^{5x+4x^3}+ 4x^7)^{\prime}=\\ =&\frac{1}{3^{5x+4x^3}+ 4x^7}\cdot \left((3^{5x+4x^3})^{\prime}+ (4x^7)^{\prime}\right)=\\ =&\frac{1}{3^{5x+4x^3}+ 4x^7}(3^{5x+4x^3}\ln 3\cdot(5x+4x^3)^{\prime}+ 28x^6)=\\ =&\frac{1}{3^{5x+4x^3}+ 4x^7}(3^{5x+4x^3}\ln 3\cdot(5+12x^2)+ 28x^6)=\\ =&\frac{3^{5x+4x^3}(5+12x^2)\ln 3+ 28x^6}{3^{5x+4x^3}+ 4x^7}.\end{aligned} \)
Dla dowolnego \( x \) należącego do dziedziny funkcji \( g_2 \):
\( \begin{aligned}g_2^{\prime}(x)=&\left(\frac{\log^4\cos x}{5^xx^5}\right)^{\prime}=\frac{(\log^4\cos x)^{\prime}5^xx^5-(\log^4\cos x)(5^xx^5)^{\prime}}{(5^xx^5)^2}=\\ =&\frac{4\log^3\cos x(\log\cos x)^{\prime}5^xx^5-(\log^4\cos x)\left((5^x)^{\prime}x^5+5^x(x^5)^{\prime}\right)}{25^xx^{10}}=\\ =&\frac{4\log^3\cos x\cdot\frac{1}{\cos x\ln 10}(\cos x)^{\prime}5^xx^5-(\log^4\cos x)(5^x\ln 5\cdot x^5+5^x5x^4)}{25^xx^{10}}=\\ =&\frac{\frac{4\log^3\cos x}{\cos x\ln 10}(-\sin x)5^xx^5-(\log^4\cos x)(5^x\ln 5\cdot x^5+5^x5x^4)}{25^xx^{10}}=\\ =&\frac{\frac{-4\text{tg}\, x\log^3\cos x}{\ln 10}5^xx^5-(\log^4\cos x)(x^55^x\ln 5 +5x^45^x)}{25^xx^{10}}.\end{aligned} \)
Uwaga 6:
Do obliczania pochodnych funkcji złożonych postaci
wykorzystujemy przekształcenia:
Natomiast ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy:
\( (f(x))^{g(x)}\text{ oraz }\log_{f(x)}g(x) \)
\( (f(x))^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}\text{ oraz }\log_{f(x)}g(x)= \frac{\ln g(x)}{\ln f(x)}. \)
Zauważmy, że przed przekształceniem funkcji \( (f(x))^{g(x)} \) nie możemy zastosować ani wzoru na pochodną funkcji potęgowej, ani na pochodną funkcji wykładniczej, bo zmienna występuje i w wykładniku, i w podstawie potęgi. Również wzór na pochodną funkcji logarytmicznej wymaga, aby podstawa logarytmu była liczbą. Aby móc zastosować znane wzory na pochodne, przekształcamy przepisy tych funkcji tak, aby w podstawie potęgi i w podstawie logarytmu były liczby. Wykorzystując złożenie funkcji odwrotnych do siebie (funkcja \( y=\ln x \) jest funkcją odwrotną do funkcji \( y=e^{x} \)), otrzymujemy:
\( (f(x))^{g(x)}=\left(e^{\ln f(x)}\right)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}. \)
\( \log_{f(x)}g(x)= \frac{\ln g(x)}{\ln f(x)}. \)
Przykład 7:
Zobaczmy zastosowanie tych wzorów do obliczenia pochodnej następujących funkcji:
oraz
W przypadku pochodnej funkcji \( f_2 \) wykorzystamy wzór \( \log_{f(x)}g(x)= \frac{\ln g(x)}{\ln f(x)} \):
\( f_1(x)=x^x \, \text{ dla }\, x\in (0,+\infty) \)
\( f_2(x)=\log_x\sin x\, \text{ dla }\, x\in (0,1). \)
Wykorzystując przekształcenie \( (f(x))^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)} \), możemy obliczyć pochodną funkcji \( f_1 \):
\( f_1^{\prime}(x)=\left(x^x\right)^{\prime}=\left(e^{x\ln x}\right)^{\prime}=e^{x\ln x}(x\ln x)^{\prime}=e^{x\ln x}\left(1\cdot\ln x+x\cdot \frac{1}{x}\right)=x^{x}(1+\ln x). \)
\( \begin{aligned}f_2^{\prime}(x)=&(\log_x\sin x)^{\prime}=\left(\frac{\ln \sin x}{\ln x}\right)^{\prime}=\frac{(\ln \sin x)^{\prime}\ln x-\ln \sin x(\ln x)^{\prime}}{\ln^2 x}=\\ =&\frac{\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x\cdot\ln x-\ln \sin x\cdot\frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\frac{\text{ctg}\, x\cdot\ln x-\frac{\ln \sin x}{x}}{\ln^2 x}.\end{aligned} \)
Uwaga 7:
Jeżeli chcemy obliczyć pochodną funkcji w zadanym punkcie, np. w \( x_0=2 \), wykorzystując wzory, to najpierw liczymy pochodną dla dowolnego \( x \) z dziedziny, a następnie dopiero wartość obliczonej pochodnej dla zadanego argumentu \( x_0 \).
Przykład 8:
Obliczymy \( f^{\prime}(2) \), jeżeli \( f(x)=(3x)^{x^2} \).
a następnie
Najpierw obliczamy pochodną funkcji \( f \) dla dowolnego \( x\gt 0 \) (w sposób podobny jak w poprzednim przykładzie):
\( \begin{aligned}f^{\prime}(x)=&\left((3x)^{x^2}\right)^{\prime}=\left(e^{x^2\ln (3x)}\right)^{\prime}=e^{x^2\ln (3x)}\left(x^2\ln (3x)\right)^{\prime}=\\ =&e^{x^2\ln (3x)}\left(2x\cdot\ln (3x)+x^2\cdot \frac{3}{3x}\right)=(3x)^{x^2}\left(x+2x\ln (3x)\right),\end{aligned} \)
\( f^{\prime}(2)=(3\cdot 2)^{2^2}(2+2\cdot 2\ln (3\cdot 2))=6^4(2+4\ln 6)=1296(2+4\ln 6). \)